बेयस की प्रमेय परिभाषा
18 वीं शताब्दी के ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर बेयस प्रमेय, सशर्त संभाव्यता का निर्धारण करने के लिए एक गणितीय सूत्र है। प्रमेय नए या अतिरिक्त सबूत दिए गए मौजूदा भविष्यवाणियों या सिद्धांतों (अद्यतन संभावनाओं) को संशोधित करने का एक तरीका प्रदान करता है। वित्त में, बेयस प्रमेय का उपयोग संभावित उधारकर्ताओं को पैसे उधार देने के जोखिम के लिए किया जा सकता है।
बेयस के प्रमेय को बेयस नियम या बेयस कानून भी कहा जाता है और बेयसियन सांख्यिकी के क्षेत्र की नींव है।
चाबी छीन लेना
- बेयस प्रमेय आपको नई जानकारी को शामिल करके किसी घटना की अनुमानित संभावनाओं को अपडेट करने की अनुमति देता है।
- बेयस के प्रमेय का नाम 18 वीं शताब्दी के गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया था।
- यह अक्सर जोखिम मूल्यांकन को अद्यतन करने में वित्त में नियोजित होता है।
बेयॉल्स के लिए फॉर्मूला है
P (A )B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) (P (B (A) P (B) जहां: P (A) = A होने की संभावना (B) = B होने की संभावना (A∣B) = किसी दिए गए BP (B∣A) की संभावना = B दिए गए AP (A⋂B) की संभावना = A और B दोनों की संभावना {शुरू होने वाले {गठबंधन} और P \ छोड़ दिया (ए | बी \ right) = \ frac {पी \ बाईं (ए \ bigcap {बी} \ right)} {पी \ बाईं (बी \ right)} = \ frac {पी \ बाईं (ए \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {जहाँ:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {A होने की संभावना} \\ & P \ बाएँ (B \ right) = \ text {B होने की संभावना} \\ & P \ बाएँ (A | B \ दाएँ) = \ पाठ {A की संभावना B} \\ और P \ बाएँ (B | A \ दाएँ) = \ text {B की संभावना A} \\ & P \ बाएँ (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {A और B दोनों की संभावना {} \\ \ end {गठबंधन} P ( A (B) = P (B) P (A )B) = P (B) P (A) ⋅P (B :A) जहां: P (A) = A होने की संभावना (B) = B होने की संभावना (A∣B) = किसी दिए गए बीपी (B BA) की संभावना = B दिए गए AP (A ofB) की संभावना = A और B दोनों की संभावना
बेयस के प्रमेय
प्रमेय के अनुप्रयोग व्यापक हैं और वित्तीय दायरे तक सीमित नहीं हैं। एक उदाहरण के रूप में, बेयस प्रमेय का उपयोग चिकित्सा परीक्षण के परिणामों की सटीकता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, यह ध्यान में रखते हुए कि किसी भी व्यक्ति को रोग होने की संभावना है और परीक्षण की सामान्य सटीकता। बेयर्स प्रमेय पूर्व संभाव्यता वितरण को शामिल करने पर निर्भर करता है ताकि बाद की संभावनाएं उत्पन्न हो सकें। पूर्व संभावना, बायेसियन सांख्यिकीय अनुमान में, नए डेटा एकत्र करने से पहले एक घटना की संभावना है। यह प्रयोग किए जाने से पहले वर्तमान ज्ञान के आधार पर किसी परिणाम की संभावना का सबसे अच्छा तर्कसंगत आकलन है। पिछली संभावना नई जानकारी को ध्यान में रखने के बाद होने वाली घटना की संशोधित संभावना है। बेयर्स प्रमेय का उपयोग करके पूर्व संभाव्यता को अपडेट करके पोस्टीरियर संभावना की गणना की जाती है। सांख्यिकीय शब्दों में, बाद की संभावना घटना ए की संभावना है जो कि घटना बी को दी गई है।
बेयस का प्रमेय इस प्रकार उस घटना के संबंध में नई जानकारी के आधार पर किसी घटना की संभावना देता है या हो सकता है। सूत्र का उपयोग यह देखने के लिए भी किया जा सकता है कि किसी घटना की संभावना काल्पनिक नई जानकारी से कैसे प्रभावित होती है, नई जानकारी को दबाने से यह सच हो जाएगा। उदाहरण के लिए, मान लें कि एक एकल कार्ड 52 कार्डों के पूर्ण डेक से खींचा गया है। संभावना है कि कार्ड एक राजा है, जो 52 से विभाजित 4 है, जो 1/13 या लगभग 7.69% के बराबर है। याद रखें कि डेक में 4 राजा हैं। अब, मान लीजिए कि यह पता चला है कि चयनित कार्ड एक चेहरा कार्ड है। चयनित कार्ड की संभावना एक राजा है, यह एक चेहरा कार्ड है, 4 को 12 या लगभग 33.3% से विभाजित किया गया है, क्योंकि एक डेक में 12 चेहरे कार्ड हैं।
एक उदाहरण के साथ डेयरिंग बेयर्स का प्रमेय सूत्र
बेयस प्रमेय बस सशर्त संभाव्यता के स्वयंसिद्धों से अनुसरण करता है। सशर्त संभाव्यता एक घटना की संभावना है जिसे देखते हुए एक और घटना हुई। उदाहरण के लिए, एक साधारण संभावना प्रश्न पूछ सकता है: "Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) के शेयर की कीमत गिरने की संभावना क्या है?" सशर्त संभाव्यता इस प्रश्न को एक कदम आगे ले जाती है: "AMZN स्टॉक मूल्य गिरने की संभावना क्या है कि डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज (डीजेआईए) इंडेक्स पहले गिर गया था?"
A की सशर्त संभावना है कि B हो गया है, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
यदि A: "AMZN मूल्य गिरता है" तो P (AMZN) की संभावना है कि AMZN गिरता है; और बी है: "डीजेआईए पहले से ही नीचे है, " और पी (डीजेआईए) संभावना है कि डीजेआईए गिर गया; तब सशर्त संभाव्यता अभिव्यक्ति पढ़ता है "एएमजेडएन ड्रॉप्स ने डीजेआईए की गिरावट की संभावना इस संभावना के बराबर है कि एएमजेडएन मूल्य में गिरावट आती है और डीजेआईए सूचकांक में कमी की संभावना पर डीजेआईए गिरावट आती है।
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN और DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN और DJIA) ए और बी दोनों होने की संभावना है। यह भी उसी प्रकार होता है जब A की संभावना को गुणा किया जाता है जिससे B होता है जो कि A होता है, P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) के रूप में व्यक्त होता है। यह तथ्य कि ये दो अभिव्यक्तियाँ बेस के प्रमेय के बराबर हैं, जो इस प्रकार लिखा गया है:
अगर, P (AMZN और DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
फिर, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA)।
जहां P (AMZN) और P (DJIA) एक-दूसरे की परवाह किए बिना अमेज़न और डॉव जोन्स के गिरने की संभावनाएं हैं।
सूत्र, P (AMZN) और साक्ष्य P (AMZN | DJIA) प्राप्त करने के बाद परिकल्पना की संभावनाओं को देखने से पहले परिकल्पना की संभावना के बीच के संबंध को समझाता है, डॉव में साक्ष्य के लिए अमेज़न के लिए एक परिकल्पना दी।
बेयर्स के प्रमेय का संख्यात्मक उदाहरण
एक संख्यात्मक उदाहरण के रूप में, कल्पना करें कि एक दवा परीक्षण है जो 98% सटीक है, जिसका अर्थ है कि 98% समय यह किसी व्यक्ति के लिए दवा का उपयोग करने के लिए सही सकारात्मक परिणाम दिखाता है और 98% समय यह गैर-बराबरी करने वालों के लिए एक वास्तविक नकारात्मक परिणाम दिखाता है। दवा। इसके बाद, मान लें कि 0.5% लोग दवा का उपयोग करते हैं। यदि कोई व्यक्ति दवा के लिए यादृच्छिक परीक्षणों में चुना गया है, तो निम्नलिखित गणना यह देखने के लिए की जा सकती है कि व्यक्ति वास्तव में दवा का उपयोगकर्ता है या नहीं।
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 - 0.98) x (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
बेयस प्रमेय से पता चलता है कि भले ही किसी व्यक्ति ने इस परिदृश्य में सकारात्मक परीक्षण किया हो, यह वास्तव में बहुत अधिक संभावना है कि व्यक्ति दवा का उपयोगकर्ता नहीं है।
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