टी टेस्ट
एक टी-टेस्ट एक प्रकार का अनुमानात्मक आँकड़ा है जो यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या दो समूहों के साधनों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जो कुछ विशेषताओं में संबंधित हो सकता है। इसका उपयोग ज्यादातर तब किया जाता है जब डेटा सेट, जैसे कि डेटा सेट को 100 बार सिक्का उछालने से परिणाम के रूप में दर्ज किया जाता है, एक सामान्य वितरण का पालन करेगा और इसमें अज्ञात संस्करण हो सकते हैं। एक टी-टेस्ट का उपयोग एक परिकल्पना परीक्षण उपकरण के रूप में किया जाता है, जो आबादी पर लागू धारणा का परीक्षण करने की अनुमति देता है।
एक टी-टेस्ट, टी-स्टेटिस्टिक, टी-डिस्ट्रीब्यूशन वैल्यूज़ और फ्रीडम की डिग्रियों को डेटा के दो सेटों के बीच अंतर की संभावना को निर्धारित करने के लिए देखता है। तीन या अधिक चरों के साथ परीक्षण करने के लिए, किसी को विचरण के विश्लेषण का उपयोग करना चाहिए।
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टी-टेस्ट के बारे में बताते हुए
अनिवार्य रूप से, एक टी-टेस्ट हमें दो डेटा सेटों के औसत मूल्यों की तुलना करने और यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या वे एक ही आबादी से आए हैं। उपरोक्त उदाहरणों में, यदि हम कक्षा A के छात्रों का एक नमूना लेते हैं और कक्षा B के छात्रों का एक और नमूना लेते हैं, तो हम उनसे बिल्कुल यही मतलब और मानक विचलन नहीं लेंगे। इसी तरह, प्लेसबो-फ़ेड कंट्रोल ग्रुप से लिए गए सैंपल और दवा निर्धारित समूह से लिए गए नमूनों का थोड़ा अलग मतलब और मानक विचलन होना चाहिए।
गणितीय रूप से, टी-टेस्ट दो सेटों में से प्रत्येक से एक नमूना लेता है और एक शून्य परिकल्पना मानकर समस्या कथन को स्थापित करता है कि दो साधन समान हैं। लागू फ़ार्मुलों के आधार पर, कुछ मानों की गणना और मानक मानों की तुलना में की जाती है, और मान ली गई अशक्त परिकल्पना को तदनुसार स्वीकार या अस्वीकार कर दिया जाता है।
यदि अशक्त परिकल्पना खारिज होने के योग्य है, तो यह इंगित करता है कि डेटा रीडिंग मजबूत हैं और संयोग से नहीं हैं। टी-टेस्ट इस उद्देश्य के लिए उपयोग किए जाने वाले कई परीक्षणों में से एक है। सांख्यिकीविदों को बड़े नमूने आकारों के साथ अधिक चर और परीक्षणों की जांच करने के लिए टी-टेस्ट के अलावा अन्य परीक्षणों का उपयोग करना चाहिए। एक बड़े नमूने के आकार के लिए, सांख्यिकीविद् एक जेड-परीक्षण का उपयोग करते हैं। अन्य परीक्षण विकल्पों में ची-स्क्वायर परीक्षण और एफ-परीक्षण शामिल हैं।
तीन प्रकार के टी-टेस्ट हैं, और उन्हें आश्रित और स्वतंत्र टी-टेस्ट के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
चाबी छीन लेना
- एक टी-टेस्ट एक प्रकार का अनुमानात्मक आँकड़ा है जो यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या दो समूहों के साधनों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जो कुछ विशेषताओं में संबंधित हो सकता है।
- टी-टेस्ट आँकड़ों में परिकल्पना परीक्षण के उद्देश्य से उपयोग किए जाने वाले कई परीक्षणों में से एक है।
- एक टी-टेस्ट की गणना के लिए तीन प्रमुख डेटा मूल्यों की आवश्यकता होती है। वे प्रत्येक डेटा सेट (माध्य अंतर कहा जाता है), प्रत्येक समूह के मानक विचलन, और प्रत्येक समूह के डेटा मूल्यों की संख्या से औसत मानों के बीच अंतर को शामिल करते हैं।
- कई अलग-अलग प्रकार के टी-टेस्ट हैं जो आवश्यक डेटा और विश्लेषण के प्रकार के आधार पर किए जा सकते हैं।
अस्पष्ट परीक्षण के परिणाम
विचार करें कि एक दवा निर्माता एक नई आविष्कार की गई दवा का परीक्षण करना चाहता है। यह रोगियों के एक समूह पर दवा की कोशिश करने और नियंत्रण समूह नामक एक अन्य समूह को प्लेसबो देने की मानक प्रक्रिया का पालन करता है। नियंत्रण समूह को दिया गया प्लेसबो बिना किसी चिकित्सीय मूल्य का एक पदार्थ है और यह मापने के लिए एक बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है कि दूसरे समूह को, जिसे वास्तविक दवा दी जाती है, प्रतिक्रिया देता है।
ड्रग ट्रायल के बाद, प्लेसबो-फेड कंट्रोल ग्रुप के सदस्यों ने औसत जीवन प्रत्याशा में तीन साल की वृद्धि की सूचना दी, जबकि समूह के सदस्य जिन्हें नई दवा रिपोर्ट की जाती है, वे औसत जीवन प्रत्याशा में चार साल की वृद्धि की रिपोर्ट करते हैं। तत्काल अवलोकन यह संकेत दे सकता है कि दवा वास्तव में काम कर रही है क्योंकि दवा का उपयोग करने वाले समूह के लिए परिणाम बेहतर हैं। हालांकि, यह भी संभव है कि अवलोकन एक मौका घटना के कारण हो सकता है, विशेष रूप से भाग्य का एक आश्चर्यजनक टुकड़ा। यदि परिणाम वास्तव में सही हैं और संपूर्ण जनसंख्या पर लागू होते हैं, तो निष्कर्ष निकालने के लिए एक टी-टेस्ट उपयोगी है।
एक स्कूल में, कक्षा ए में 100 छात्रों ने 3% के मानक विचलन के साथ औसतन 85% स्कोर किया। कक्षा बी से जुड़े अन्य 100 छात्रों ने 4% के मानक विचलन के साथ औसतन 87% स्कोर किया। जबकि कक्षा B का औसत कक्षा A की तुलना में बेहतर है, यह इस निष्कर्ष पर कूदना सही नहीं हो सकता है कि कक्षा A में छात्रों का समग्र प्रदर्शन कक्षा A के छात्रों की तुलना में बेहतर है क्योंकि यह है, साथ में मतलब, कक्षा B का मानक विचलन भी वर्ग A की तुलना में अधिक है। यह इंगित करता है कि निम्न और उच्च पक्षों पर उनके चरम प्रतिशत वर्ग A की तुलना में बहुत अधिक फैले हुए थे। A-t-test निर्धारित करने में मदद कर सकता है। किस वर्ग ने बेहतर प्रदर्शन किया।
टी-टेस्ट मान्यताओं
- टी-परीक्षणों के संबंध में की गई पहली धारणा माप के पैमाने की चिंता करती है। टी-टेस्ट के लिए धारणा यह है कि एकत्र किए गए डेटा पर लागू माप का पैमाना एक निरंतर या क्रमिक पैमाने का अनुसरण करता है, जैसे कि आईक्यू टेस्ट के लिए स्कोर।
- दूसरी धारणा यह है कि एक साधारण रैंडम सैंपल, यह है कि डेटा को कुल आबादी के बेतरतीब ढंग से चुने गए प्रतिनिधि से इकट्ठा किया जाता है।
- तीसरी धारणा डेटा है, जब प्लॉट किया जाता है, तो सामान्य वितरण, घंटी के आकार का वितरण वक्र होता है।
- चौथी धारणा एक बहुत बड़ा नमूना आकार का उपयोग किया जाता है। बड़े नमूना आकार का मतलब है कि परिणामों का वितरण सामान्य घंटी के आकार का वक्र होना चाहिए।
- अंतिम धारणा विचरण की समरूपता है। सजातीय, या समान, विचरण मौजूद है जब नमूनों के मानक विचलन लगभग बराबर हैं।
टी-टेस्ट की गणना
एक टी-टेस्ट की गणना के लिए तीन प्रमुख डेटा मूल्यों की आवश्यकता होती है। वे प्रत्येक डेटा सेट (माध्य अंतर कहा जाता है), प्रत्येक समूह के मानक विचलन, और प्रत्येक समूह के डेटा मूल्यों की संख्या से औसत मानों के बीच अंतर को शामिल करते हैं।
टी-टेस्ट के परिणाम टी-मूल्य का उत्पादन करते हैं। इसके बाद गणना की गई टी-वैल्यू की तुलना क्रिटिकल वैल्यू टेबल (टी-डिस्ट्रीब्यूशन टेबल) से प्राप्त मूल्य से की जाती है। यह तुलना यह निर्धारित करने में मदद करती है कि संयोग से होने वाले साधनों के बीच अंतर या डेटा सेटों में वास्तव में आंतरिक अंतर है या नहीं। टी-टेस्ट सवाल करता है कि क्या समूहों के बीच का अंतर अध्ययन में एक सच्चे अंतर का प्रतिनिधित्व करता है या यदि यह एक व्यर्थ सांख्यिकीय अंतर है।
T- वितरण तालिकाएँ
टी-डिस्ट्रीब्यूशन टेबल वन-टेल और टू-टेल फॉर्मेट में उपलब्ध है। पूर्व का उपयोग उन मामलों का आकलन करने के लिए किया जाता है जिनके पास एक स्पष्ट दिशा (सकारात्मक या नकारात्मक) के साथ एक निश्चित मूल्य या सीमा होती है। उदाहरण के लिए, -3 से नीचे आउटपुट मूल्य की संभावना क्या है, या पासा की एक जोड़ी को रोल करते समय सात से अधिक हो रही है? उत्तरार्द्ध का उपयोग सीमाबद्ध विश्लेषण के लिए किया जाता है, जैसे कि यह पूछना कि क्या निर्देशांक -2 और +2 के बीच आते हैं।
गणना मानक सॉफ्टवेयर प्रोग्रामों के साथ की जा सकती है जो एमएस एक्सेल में पाए जाने वाले आवश्यक सांख्यिकीय कार्यों का समर्थन करते हैं।
टी-मूल्यों और स्वतंत्रता की डिग्री
टी-टेस्ट अपने आउटपुट के रूप में दो मूल्यों का उत्पादन करता है: टी-मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री। टी-वैल्यू दो सैंपल सेटों के बीच के अंतर और सैंपल सेट्स के भीतर मौजूद अंतर के बीच का अंतर है। जबकि संख्यात्मक मान (दो नमूना सेटों के बीच का अंतर) गणना करने के लिए सीधा है, भाजक (नमूना सेट के भीतर मौजूद अंतर) थोड़ा जटिल हो सकता है, जिसमें शामिल डेटा मानों के प्रकार पर निर्भर करता है। अनुपात का भाजक फैलाव या परिवर्तनशीलता का माप है। टी-मान के उच्च मूल्य, जिसे टी-स्कोर भी कहा जाता है, यह दर्शाता है कि दो नमूना सेटों के बीच एक बड़ा अंतर मौजूद है। टी-वैल्यू जितना छोटा होगा, दो सैंपल सेट के बीच उतनी ही समानता होगी।
- एक बड़ा टी-स्कोर इंगित करता है कि समूह अलग-अलग हैं।
- एक छोटा टी-स्कोर इंगित करता है कि समूह समान हैं।
स्वतंत्रता की डिग्री एक अध्ययन में उन मूल्यों को संदर्भित करती है जिनमें अलग-अलग होने की स्वतंत्रता है और महत्व और अशक्त परिकल्पना की वैधता का आकलन करने के लिए आवश्यक हैं। इन मूल्यों की गणना आमतौर पर नमूना सेट में उपलब्ध डेटा रिकॉर्ड की संख्या पर निर्भर करती है।
सहसंबंधित (या जोड़ीदार) टी-टेस्ट
सहसंबद्ध टी-परीक्षण तब किया जाता है जब नमूने आम तौर पर समान इकाइयों के मिलान जोड़े से मिलकर होते हैं, या जब दोहराया उपायों के मामले होते हैं। उदाहरण के लिए, एक ही रोगियों के बार-बार परीक्षण किए जाने के उदाहरण हो सकते हैं - एक विशेष उपचार प्राप्त करने से पहले और बाद में। ऐसे मामलों में, प्रत्येक रोगी को खुद के खिलाफ नियंत्रण नमूने के रूप में इस्तेमाल किया जा रहा है।
यह विधि उन मामलों पर भी लागू होती है जहाँ नमूने किसी न किसी तरीके से संबंधित होते हैं या उनमें मिलान की विशेषताएँ होती हैं, जैसे बच्चों, माता-पिता या भाई-बहनों से तुलनात्मक विश्लेषण। सहसंबंधित या युग्मित टी-परीक्षण एक आश्रित प्रकार के होते हैं, क्योंकि इनमें ऐसे मामले शामिल होते हैं जहाँ नमूनों के दो सेट संबंधित होते हैं।
युग्मित टी-टेस्ट के लिए टी-मान और स्वतंत्रता की डिग्री के लिए सूत्र है:
- माध्य 1 और माध्य 2 नमूना सेटों में से प्रत्येक के औसत मूल्य हैं, जबकि var1 और var2 नमूना सेटों में से प्रत्येक के संस्करण का प्रतिनिधित्व करते हैं।
शेष दो प्रकार स्वतंत्र टी-टेस्ट के हैं। इन प्रकारों के नमूनों को एक-दूसरे से स्वतंत्र चुना जाता है- यानी, दो समूहों में डेटा सेट समान मानों को संदर्भित नहीं करते हैं। इनमें 100 रोगियों के समूह में से प्रत्येक में 50 रोगियों के दो सेटों में विभाजित होने जैसे मामले शामिल हैं। समूहों में से एक नियंत्रण समूह बन जाता है और उसे एक प्लेसबो दिया जाता है, जबकि दूसरे समूह को निर्धारित उपचार प्राप्त होता है। यह दो स्वतंत्र नमूना समूहों का गठन करता है जो एक दूसरे के साथ अप्रभावित रहते हैं।
समान भिन्न (या पूलित) टी-टेस्ट
समान विचरण t- परीक्षण का उपयोग तब किया जाता है जब प्रत्येक समूह में नमूनों की संख्या समान होती है, या दो डेटा सेटों का विचरण समान होता है। निम्नलिखित सूत्र का उपयोग समान भिन्नता वाले टी-टेस्ट के लिए टी-मान और स्वतंत्रता की डिग्री की गणना के लिए किया जाता है:
T-value = mean1 2 mean2 (n1 )1) × var12 + (n2−1) × var22n1 + n212 × 1n1 + 1n2where: mean1 और mean2 = नमूना setvar1 और var2 = प्रत्येक के प्रत्येक का औसत मान नमूना सेटन 1 और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या {शुरू {गठबंधन} और \ पाठ {टी-मूल्य} = \ frac {माध्य 1 - माध्य 2} {\ sqrt {\ frac {(n1 - 1) \ _1.1 ^ 2 + (n2 - 1) \ टाइम्स var2 ^ 2} {n1 + n2 - 2}} \ टाइम्स \ sqrt {\ frac {1} {n1} + \ frac {1} {n2}}} \\ & textbf { जहाँ:} \\ & mean1 \ text {और mean2 = \ text {प्रत्येक का औसत मान} नमूना सेटों का \\ & \ _ {पाठ}} \\ और var1 \ text {और} var2 = \ text {प्रत्येक का विचलन नमूना सेट} \\ & n1 \ पाठ {और} n2 = \ पाठ {प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या} \\ \ अंत {गठबंधन} टी-मूल्य = n1 + n2−2 (n1−1) × var12 + (n2) −1) × var22 × n11 + n21 माध्य 1 where माध्य 2 जहां: माध्य 1 और माध्य 2 = नमूना सेट का प्रत्येक मान औसतन 1 और var2 = प्रत्येक नमूना सेटर्न 1 और n2 = प्रत्येक नमूने में रिकॉर्ड की संख्या का भिन्न। सेट
तथा,
स्वतंत्रता की डिग्री = n1 + n2 of2where: n1 और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या \ गठबंधन {शुरू} और \ पाठ {स्वतंत्रता की डिग्री} = n1 + n2 - 2 \\ & \ text_f {जहां}: \\ & n1 \ पाठ {और} n2 = \ text {प्रत्येक नमूने सेट में रिकॉर्ड की संख्या} \\ \ end {संरेखित करें} स्वतंत्रता के आधार = n1 + n2−2where: n1 और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या
असमान विरेसी टी-टेस्ट
असमान विचरण t- परीक्षण का उपयोग तब किया जाता है जब प्रत्येक समूह में नमूनों की संख्या भिन्न होती है, और दो डेटा सेटों का विचरण भी भिन्न होता है। इस परीक्षण को वेल्च का टी-टेस्ट भी कहा जाता है। निम्नलिखित सूत्र का उपयोग असमान विचरण टी-टेस्ट के लिए टी-मान और स्वतंत्रता की डिग्री की गणना के लिए किया जाता है:
T-value = mean1 2 mean2var12n1 + var22n2where: mean1 और mean2 = प्रत्येक का औसत मान जो कि set set1 और नमूना 2 के प्रत्येक नमूने का औसत सेट और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में अभिलेखों की संख्या \ _ {गठबंधन} और \ पाठ सेट करें। {T-value} = \ frac {mean1 - mean2} {\ sqrt {\ _ frac {var1 ^ 2} {n1} + \ frac {var2 ^ 2} {n2}}} \\ & \ textb {{:}} \ & mean1 \ text {और mean2 = \ text {नमूना सेटों के प्रत्येक} \\ और \ text {का औसत मूल्य} \\ और var1 \ text {और} var2 = \ text {प्रत्येक नमूना सेटों का भिन्नता \ _ \ & n1 \ पाठ {और} n2 = \ पाठ {प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या} \\ \ अंत {संरेखित} टी-मूल्य = n1var12 + n2var22 माध्य 1 2 माध्य 2: माध्य 1 और माध्य 2 - औसत मान प्रत्येक सैंपल सेटवार 1 और var2 = प्रत्येक नमूना सेट 1 और n2 = प्रत्येक नमूने सेट में रिकॉर्ड की संख्या का भिन्न
तथा,
स्वतंत्रता की डिग्री = (var12n1 + var22n2) 2 (var12n1) 2n1 var1 + (var22n2) 2n2−1where: var1 और var2 = प्रत्येक नमूना सेटों के प्रत्येक का भिन्न और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में अभिलेखों की संख्या \ "{संरेखित करें } और \ पाठ {स्वतंत्रता की डिग्री} = \ frac {\ left (\ frac {var1 ^ 2} {n1} + \ frac {var2 ^ 2} {n2} \ right) ^ 2} {\ frac \ _ बाएं ( \ frac {var1 ^ 2} {n1} \ right) ^ 2} {n1 - 1} + \ frac {\ left (\ frac {var2 ^ 2} {n2} \ right) ^ 2} {n2 - 1}} \\ & \ textbf {जहां:} \\ & var1 \ text {और} var2 = \ text {प्रत्येक नमूना सेट का भिन्नता}} \\ & n1 \ text {और} n2 = \ text {प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या। } \\ \ अंत {संरेखित} स्वतंत्रता की सीमाएँ = n1 (1 (n1var12) 2 + n221 (n2var22) 2 (n1var12 + n2var22) 2 जहाँ: var1 और var2 - प्रत्येक का भिन्न नमूना setn1 और n2 = प्रत्येक नमूना सेट में रिकॉर्ड की संख्या
उपयोग करने के लिए सही टी-टेस्ट का निर्धारण
निम्नलिखित फ्लोचार्ट का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि नमूना सेट की विशेषताओं के आधार पर कौन से टी-परीक्षण का उपयोग किया जाना चाहिए। विचार की जाने वाली प्रमुख वस्तुओं में शामिल हैं कि क्या नमूना रिकॉर्ड समान हैं, प्रत्येक नमूना सेट में डेटा रिकॉर्ड की संख्या और प्रत्येक नमूना सेट का विचरण।
असमान विविधता टी टेस्ट उदाहरण
मान लें कि हम एक आर्ट गैलरी में प्राप्त चित्रों का विकर्ण माप ले रहे हैं। नमूनों के एक समूह में 10 पेंटिंग शामिल हैं, जबकि दूसरे में 20 पेंटिंग शामिल हैं। संबंधित माध्य और विचरण मानों के साथ डेटा सेट निम्नानुसार हैं:
| 1 सेट करें | 2 सेट करें | |
| 19.7 | 28.3 | |
| 20.4 | 26.7 | |
| 19.6 | 20.1 | |
| 17.8 | 23.3 | |
| 18.5 | 25.2 | |
| 18.9 | 22.1 | |
| 18.3 | 17.7 | |
| 18.9 | 27.6 | |
| 19.5 | 20.6 | |
| 21.95 | 13.7 | |
| 23.2 | ||
| 17.5 | ||
| 20.6 | ||
| 18 | ||
| 23.9 | ||
| 21.6 | ||
| 24.3 | ||
| 20.4 | ||
| 23.9 | ||
| 13.3 | ||
| मतलब | 19.4 | 21.6 |
| झगड़ा | 1.4 | 17.1 |
हालाँकि सेट 2 का मतलब सेट 1 की तुलना में अधिक है, लेकिन हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं कि सभी चित्रों की औसत लंबाई लगभग 21.6 यूनिट है क्योंकि सेट 2 का विचरण सेट 1 से काफी अधिक है। क्या यह संयोग से होता है, या क्या अंतर वास्तव में मौजूद हैं आर्ट गैलरी में प्राप्त सभी चित्रों की समग्र आबादी में ">
चूंकि डेटा रिकॉर्ड की संख्या अलग है (n1 = 10 और n2 = 20) और विचरण भी भिन्न है, असमान विरल टी-टेस्ट में वर्णित सूत्र का उपयोग करके उपरोक्त डेटा सेट के लिए स्वतंत्रता के टी-मूल्य और डिग्री की गणना की जाती है। अनुभाग।
टी-वैल्यू -2.24787 है। चूंकि दो टी-मानों की तुलना करते समय माइनस साइन को नजरअंदाज किया जा सकता है, परिकलित मूल्य 2.24787 है।
स्वतंत्रता मूल्य की डिग्री 24.38 है और कम से कम संभव पूर्णांक मूल्य के लिए मूल्य के नीचे राउंडिंग की आवश्यकता वाले सूत्र परिभाषा के कारण 24 तक कम हो जाती है।
जब भी एक सामान्य वितरण ग्रहण किया जाता है, तो कोई स्वीकृति के मानदंड के रूप में संभाव्यता के स्तर (अल्फा स्तर, महत्व का स्तर, पी ) निर्दिष्ट कर सकता है। ज्यादातर मामलों में, 5% मूल्य ग्रहण किया जा सकता है।
स्वतंत्रता मूल्य की डिग्री को 24 के रूप में और महत्व के 5% के स्तर का उपयोग करते हुए, टी-मूल्य वितरण तालिका पर एक नज़र 2.064 का मान देती है। 2.247 के गणना मूल्य के खिलाफ इस मूल्य की तुलना करना इंगित करता है कि गणना की गई टी-वैल्यू 5% के महत्व के स्तर पर टेबल मूल्य से अधिक है। इसलिए, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना सुरक्षित है कि साधनों के बीच कोई अंतर नहीं है। आबादी के सेट में आंतरिक अंतर हैं, और वे संयोग से नहीं हैं।
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