GBM के साथ मोंटे कार्लो सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

जोखिम का अनुमान लगाने के सबसे सामान्य तरीकों में से एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन (MCS) का उपयोग है। उदाहरण के लिए, किसी पोर्टफोलियो के जोखिम (VaR) के मूल्य की गणना करने के लिए, हम एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन चला सकते हैं जो एक निर्दिष्ट समय क्षितिज पर एक आत्मविश्वास अंतराल दिए गए पोर्टफोलियो के लिए सबसे खराब संभावित नुकसान की भविष्यवाणी करने का प्रयास करता है (हमें हमेशा दो निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है VaR के लिए शर्तें: आत्मविश्वास और क्षितिज)।

इस लेख में, हम वित्त में सबसे आम मॉडलों में से एक का उपयोग करके स्टॉक मूल्य पर लागू एक बुनियादी एमसीएस की समीक्षा करेंगे: ज्यामितीय ब्राउनियन गति (जीबीएम)। इसलिए, जबकि मोंटे कार्लो सिमुलेशन सिमुलेशन के विभिन्न दृष्टिकोणों के एक ब्रह्मांड का उल्लेख कर सकता है, हम यहां सबसे बुनियादी के साथ शुरू करेंगे।

कहा से शुरुवात करे

मोंटे कार्लो सिमुलेशन भविष्य में कई बार भविष्यवाणी करने का प्रयास है। सिमुलेशन के अंत में, हजारों या लाखों "यादृच्छिक परीक्षण" परिणामों का एक वितरण उत्पन्न करते हैं जिनका विश्लेषण किया जा सकता है। मूल कदम इस प्रकार हैं:

1. एक मॉडल निर्दिष्ट करें (जैसे GBM)

इस लेख के लिए, हम जियोमेट्रिक ब्राउनियन मोशन (GBM) का उपयोग करेंगे, जो तकनीकी रूप से मार्कोव प्रक्रिया है। इसका मतलब यह है कि शेयर की कीमत एक यादृच्छिक चलना है और बहुत कम (कम से कम) कुशल बाजार परिकल्पना (ईएमएच) के कमजोर रूप के अनुरूप है - अतीत की कीमत की जानकारी पहले से ही शामिल है, और अगले मूल्य आंदोलन "सशर्त रूप से स्वतंत्र" है पिछले मूल्य आंदोलनों।

GBM का सूत्र नीचे पाया गया है:

कहाँ पे:

• एस = स्टॉक मूल्य
• Δ एस = स्टॉक मूल्य में परिवर्तन
• μ = अपेक्षित वापसी
• σ = रिटर्न का मानक विचलन
• ϵ = यादृच्छिक चर
• Δ टी = बीता हुआ समय अवधि

यदि हम स्टॉक मूल्य में परिवर्तन के लिए फार्मूला हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो हम देखते हैं कि GBM कहता है कि स्टॉक मूल्य में परिवर्तन स्टॉक मूल्य "S" है, जो नीचे दिए गए कोष्ठक के अंदर पाए गए दो शब्दों से गुणा किया गया है:

पहला शब्द "बहाव" है और दूसरा शब्द "झटका" है। प्रत्येक समय अवधि के लिए, हमारे मॉडल ने अनुमान लगाया है कि अपेक्षित रिटर्न से "बहाव" बढ़ेगा। लेकिन एक यादृच्छिक झटके से बहाव को झटका (जोड़ा या घटाया) जाएगा। यादृच्छिक झटका मानक विचलन होगा "रैंडम नंबर से गुणा" ई। " यह मानक विचलन को स्केल करने का एक तरीका है।

यह GBM का सार है, जैसा कि चित्र 1 में दर्शाया गया है। स्टॉक की कीमत कई चरणों की एक श्रृंखला है, जहां प्रत्येक चरण एक बहाव प्लस या माइनस एक यादृच्छिक झटका है (स्वयं स्टॉक के मानक विचलन का एक कार्य):

आकृति 1

2. यादृच्छिक परीक्षण उत्पन्न करें

एक मॉडल विनिर्देश के साथ सशस्त्र, हम फिर यादृच्छिक परीक्षण चलाने के लिए आगे बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, हमने 40 परीक्षण चलाने के लिए Microsoft Excel का उपयोग किया है। ध्यान रखें कि यह एक अनुचित रूप से छोटा नमूना है; अधिकांश सिमुलेशन या "सिम्स" कम से कम कई हजार परीक्षण चलाते हैं।

इस मामले में, मान लें कि स्टॉक $ 10 की कीमत के साथ दिन शून्य पर शुरू होता है। यहां परिणाम का एक चार्ट है जहां प्रत्येक बार चरण (या अंतराल) एक दिन होता है और श्रृंखला दस दिनों के लिए चलती है (सारांश में: दस दिनों में दैनिक चरणों के साथ चालीस परीक्षण):

चित्रा 2: ज्यामितीय ब्राउनियन मोशन

परिणाम 10 दिनों के अंत में चालीस नकली स्टॉक की कीमतें हैं। कोई भी $ 9 से नीचे नहीं आया है, और एक $ 11 से ऊपर है।

3. आउटपुट को प्रोसेस करें

सिमुलेशन ने काल्पनिक भविष्य के परिणामों के वितरण का उत्पादन किया। हम आउटपुट के साथ कई काम कर सकते हैं।

यदि, उदाहरण के लिए, हम 95% आत्मविश्वास के साथ VaR का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो हमें केवल तीस-आठवें स्थान पर परिणाम (तीसरे सबसे खराब परिणाम) का पता लगाने की आवश्यकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 2/40 5% के बराबर है, इसलिए दो सबसे खराब परिणाम सबसे कम 5% हैं।

यदि हम सचित्र परिणामों को डिब्बे में रखते हैं (प्रत्येक बिन $ 1 का एक तिहाई है, तो तीन डिब्बे $ 9 से $ 10 तक अंतराल को कवर करते हैं), हम निम्नलिखित हिस्टोग्राम प्राप्त करेंगे:

चित्र तीन

याद रखें कि हमारा जीबीएम मॉडल सामान्यता मानता है; मूल्य रिटर्न सामान्य रूप से अपेक्षित रिटर्न (मी) "एम" और मानक विचलन "एस" के साथ वितरित किया जाता है। दिलचस्प बात यह है कि हमारा हिस्टोग्राम सामान्य नहीं लग रहा है। वास्तव में, अधिक परीक्षणों के साथ, यह सामान्यता की ओर नहीं बढ़ेगा। इसके बजाय, यह एक असामान्य वितरण की ओर बढ़ेगा: मतलब के बाईं ओर एक तेज गिरावट और मतलब के दाईं ओर एक अत्यधिक तिरछी "लंबी पूंछ"।

यह अक्सर पहली बार छात्रों के लिए एक संभावित भ्रमित गतिशील की ओर जाता है:

• मूल्य रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।
• मूल्य स्तर लॉग-सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

इसके बारे में इस तरह से सोचें: एक शेयर 5% या 10% तक लौट या नीचे आ सकता है, लेकिन एक निश्चित अवधि के बाद, शेयर की कीमत नकारात्मक नहीं हो सकती है। इसके अलावा, अपसाइड पर मूल्य वृद्धि का कंपाउंडिंग प्रभाव पड़ता है, जबकि कीमत घटने पर बेस कम हो जाता है: 10% खो देते हैं और अगली बार खोने के लिए आपको कम के साथ छोड़ दिया जाता है।

यहाँ हमारी सचित्र मान्यताओं पर आधारित lognormal वितरण का एक चार्ट है (उदाहरण के लिए $ 10 की कीमत)

चित्र 4

तल - रेखा

मोंटे कार्लो सिमुलेशन एक चयनित मॉडल (जो एक उपकरण के व्यवहार को निर्दिष्ट करता है) को लागू करता है, जो संभावित भविष्य के परिणामों के एक प्रशंसनीय सेट का उत्पादन करने के प्रयास में यादृच्छिक परीक्षणों के एक बड़े सेट के लिए होता है। स्टॉक की कीमतों का अनुकरण करने के संबंध में, सबसे आम मॉडल ज्यामितीय ब्राउनियन गति (जीबीएम) है। GBM मानता है कि एक निरंतर बहाव यादृच्छिक झटके के साथ है। जबकि GBM के तहत अवधि के रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, फलस्वरूप बहु-अवधि (उदाहरण के लिए, दस दिन) मूल्य स्तर को तार्किक रूप से वितरित किया जाता है।