द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल को समझना

किसी भी पारंपरिक संपत्ति के लिए सटीक मूल्य निर्धारण पर सहमत होना चुनौतीपूर्ण है - यही कारण है कि स्टॉक की कीमतें लगातार बदलती रहती हैं। वास्तव में, कंपनियां अपने वैल्यूएशन को दिन-प्रतिदिन के आधार पर बदलती हैं, लेकिन उनके स्टॉक की कीमतें और वैल्यूएशन लगभग हर सेकंड बदलते हैं। किसी भी पारंपरिक संपत्ति के लिए सही मूल्य निर्धारण के बारे में आम सहमति तक पहुंचने में यह कठिनाई अल्पकालिक मध्यस्थता के अवसरों की ओर ले जाती है।

लेकिन वर्तमान समय के मूल्यांकन के एक सरल प्रश्न के लिए बहुत सारे सफल निवेश उबलते हैं- एक अपेक्षित अनुमानित भुगतान के लिए आज सही वर्तमान मूल्य क्या है?

द्विपद विकल्प विकल्प

एक प्रतिस्पर्धी बाजार में, मध्यस्थता के अवसरों से बचने के लिए, समान अदायगी संरचनाओं वाली संपत्तियों की समान कीमत होनी चाहिए। विकल्पों का मूल्यांकन एक चुनौतीपूर्ण कार्य रहा है और मूल्य निर्धारण विविधताएं मध्यस्थता के अवसरों को जन्म देती हैं। ब्लैक-स्कोल्स मूल्य निर्धारण विकल्पों के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे लोकप्रिय मॉडलों में से एक बना हुआ है, लेकिन इसकी सीमाएं हैं।

द्विपदीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल मूल्य निर्धारण विकल्पों के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक अन्य लोकप्रिय तरीका है।

उदाहरण

मान लें कि $ 100 के मौजूदा बाजार मूल्य के साथ किसी विशेष स्टॉक पर एक कॉल विकल्प है। एट-द-मनी (एटीएम) विकल्प में एक वर्ष की समाप्ति के लिए समय के साथ $ 100 का स्ट्राइक मूल्य है। पीटर और पाउला दो व्यापारी हैं, जो दोनों सहमत हैं कि स्टॉक की कीमत या तो 110 डॉलर तक बढ़ जाएगी या एक वर्ष में $ 90 तक गिर जाएगी।

वे एक वर्ष के दिए गए समय सीमा में अपेक्षित मूल्य स्तरों पर सहमत होते हैं, लेकिन ऊपर या नीचे जाने की संभावना पर असहमत होते हैं। पीटर का मानना ​​है कि स्टॉक की कीमत $ 110 होने की संभावना 60% है, जबकि पाउला का मानना ​​है कि यह 40% है।

उसके आधार पर, कॉल विकल्प के लिए कौन अधिक कीमत देने को तैयार होगा? संभवतः पीटर, जैसा कि वह ऊपर कदम की एक उच्च संभावना की उम्मीद करता है।

द्विपद विकल्प की गणना

दो परिसंपत्तियां, जिनका मूल्यांकन निर्भर करता है, कॉल विकल्प और अंतर्निहित स्टॉक हैं। प्रतिभागियों के बीच एक समझौता है कि अंतर्निहित स्टॉक की कीमत मौजूदा $ 100 से या तो एक वर्ष में $ 110 या $ 90 हो सकती है और कोई अन्य कीमत संभव नहीं है।

एक मध्यस्थ-मुक्त दुनिया में, यदि आपको इन दो परिसंपत्तियों, कॉल ऑप्शन और अंतर्निहित स्टॉक से मिलकर एक पोर्टफोलियो बनाना है, तो इस तरह की परवाह किए बिना कि अंतर्निहित कीमत कहाँ जाती है - $ 110 या $ 90 - पोर्टफोलियो पर शुद्ध रिटर्न हमेशा एक ही रहता है । मान लीजिए कि आप इस पोर्टफोलियो को बनाने के लिए अंतर्निहित और लघु एक कॉल विकल्प के "डी" शेयर खरीदते हैं।

यदि मूल्य $ 110 हो जाता है, तो आपके शेयर $ 110 * d के बराबर होंगे, और आप छोटी कॉल अदायगी पर $ 10 खो देंगे। आपके पोर्टफोलियो का शुद्ध मूल्य (110d - 10) होगा।

यदि कीमत $ 90 हो जाती है, तो आपके शेयर $ 90 * d के बराबर होंगे, और विकल्प बेकार हो जाएगा। आपके पोर्टफोलियो का शुद्ध मूल्य (90 डी) होगा।

यदि आप चाहते हैं कि आपके पोर्टफोलियो का मूल्य उसी तरह बना रहे, जहां अंतर्निहित स्टॉक मूल्य जाता है, तो आपके पोर्टफोलियो का मूल्य दोनों मामलों में समान रहना चाहिए:

h (d) (m = l (d) जहां: h = उच्चतम संभावित अंतर्निहित मूल्य = अंतर्निहित शेयरों की संख्या = छोटी कॉल अदायगी पर खो गया धन = सबसे कम संभावित अंतर्निहित मूल्य \ start {align} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {जहां:} \\ & h = \ text {उच्चतम संभावित अंतर्निहित मूल्य} \\ और d = \ पाठ {अंतर्निहित शेयरों की संख्या} \\ और m = \ पाठ {शॉर्ट कॉल अदायगी पर खोया पैसा} \\ & l = \ text {सबसे कम संभावित अंतर्निहित मूल्य} \\ \ end {संरेखित करें h (d) −m = l (d) जहां: h = उच्चतम संभावित अंतर्निहित मूल्य = अंतर्निहित शेयर की संख्या = कम कॉल पर पैसा खो गया अदायगी = न्यूनतम संभावित अंतर्निहित मूल्य

इसलिए यदि आप आधा हिस्सा खरीदते हैं, तो यह मानते हुए कि भिन्नात्मक खरीद संभव है, आप एक पोर्टफोलियो बनाने का प्रबंधन करेंगे ताकि इसका मूल्य एक वर्ष के दिए गए समय सीमा के भीतर दोनों संभावित राज्यों में समान रहे।

110d aligned 10 = 90dd = 12 \ _ {संरेखित} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ अंत {गठबंधन} 110d − 10 = 90dd = 21

यह पोर्टफोलियो मूल्य (९ ० डी) या (११० डी - १०) = ४५ से दर्शाया गया है, यह रेखा से एक वर्ष नीचे है। इसके वर्तमान मूल्य की गणना करने के लिए, इसे जोखिम-मुक्त दर (5% मानकर) द्वारा छूट दी जा सकती है।

वर्तमान मान = 90d × e (=5% × 1 वर्ष) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ _ {संरेखित} \ पाठ {वर्तमान मूल्य} और = 90d \ गुना e ^ {(-5 \% \ बार 1 \ पाठ) प्रारंभ करें {वर्ष})} \\ & = 45 \ गुना 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ अंत {गठबंधन} वर्तमान मूल्य = 90 डी × ई (×5% × 1 वर्ष) = 45 × 0.9523 = 42.85

वर्तमान में, पोर्टफोलियो में अंतर्निहित स्टॉक ($ 100 के बाजार मूल्य के साथ) और एक छोटी कॉल के portfolio शेयर शामिल हैं, यह वर्तमान मूल्य के बराबर होना चाहिए।

12 × 100851 × कॉल मूल्य = $ 42.85Call मूल्य = $ 7.14, अर्थात आज का कॉल मूल्य {शुरू {संरेखित} और \ frac {1} {2} \ 100 बार - 1 \ बार \ पाठ {कॉल मूल्य} = \ $ 42.85 \\ & \ पाठ {कॉल मूल्य} = \ $ 7.14 \ टेक्स्ट {, यानी आज का कॉल मूल्य} \\ \ एंड {गठबंधन} 21 × 100−1 × कॉल मूल्य = $ 42.85 कॉल मूल्य = $ 7.14, अर्थात आज का कॉल मूल्य

चूँकि यह इस धारणा पर आधारित है कि पोर्टफोलियो मूल्य उसी तरह बना रहता है, जिस तरह से अंतर्निहित कीमत जाती है, अप मूव या डाउन मूव की संभावना में कोई भूमिका नहीं होती है। पोर्टफोलियो अंतर्निहित मूल्य चालों की परवाह किए बिना जोखिम मुक्त रहता है।

दोनों मामलों में ($ 110 की चाल को और $ 90 की चाल को नीचे मान लिया गया), आपका पोर्टफोलियो जोखिम के लिए तटस्थ है और वापसी की जोखिम-मुक्त दर अर्जित करता है।

इसलिए, दोनों व्यापारी, पीटर और पाउला, इस कॉल विकल्प के लिए $ 7.14 का भुगतान करने को तैयार होंगे, अप मूव्स (60% और 40%) की संभावनाओं की उनकी अलग-अलग धारणाओं के बावजूद। उनकी व्यक्तिगत रूप से कथित संभावनाएं विकल्प के मूल्यांकन में कोई मायने नहीं रखती हैं।

इसके बजाय यह मानकर कि व्यक्तिगत संभावनाएं मायने रखती हैं, मध्यस्थता के अवसरों ने खुद को प्रस्तुत किया हो सकता है। वास्तविक दुनिया में, ऐसे मध्यस्थ अवसर मामूली मूल्य अंतर के साथ मौजूद हैं और अल्पावधि में गायब हो जाते हैं।

लेकिन इन सभी गणनाओं में एक बहुत ही महत्वपूर्ण अस्थिरता कहां है, एक महत्वपूर्ण और संवेदनशील कारक जो विकल्प मूल्य निर्धारण को प्रभावित करता है?

समस्या की परिभाषा की प्रकृति से अस्थिरता पहले से ही शामिल है। दो (और केवल दो - इसलिए नाम "द्विपद") मान के स्तर ($ 110 और $ 90), अस्थिरता इस धारणा में निहित है और स्वचालित रूप से शामिल है (इस उदाहरण में 10% दोनों तरह से)।

काले स्कॉल्स

लेकिन क्या यह दृष्टिकोण आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले ब्लैक-स्कोल्स मूल्य के साथ सही और सुसंगत है? विकल्प कैलकुलेटर परिणाम (ओआईसी के सौजन्य से) गणना मूल्य के साथ निकटता से मेल खाते हैं:

दुर्भाग्य से, वास्तविक दुनिया "केवल दो राज्यों" के रूप में सरल नहीं है। स्टॉक समय समाप्त होने से पहले कई मूल्य स्तरों तक पहुंच सकता है।

क्या एक द्विपदीय मूल्य निर्धारण मॉडल में इन सभी कई स्तरों को शामिल करना संभव है जो केवल दो स्तरों तक ही सीमित है ">

सिंपल मैथ

इस समस्या और समाधान को सामान्य करने के लिए:

"X" एक शेयर का वर्तमान बाजार मूल्य है और "X * u" और "X * d" वर्षों के बाद ऊपर और नीचे की चाल के लिए भविष्य के मूल्य हैं। फैक्टर "यू" एक से अधिक होगा क्योंकि यह एक अप मूव को इंगित करता है और "डी" शून्य और एक के बीच स्थित होगा। उपरोक्त उदाहरण के लिए, u = 1.1 और d = 0.9।

समाप्ति के समय ऊपर और नीचे की चाल के लिए कॉल विकल्प अदायगी "पी _अप " और "पी _डीएन " हैं।

यदि आप आज खरीदे गए "एस" शेयरों का पोर्टफोलियो बनाते हैं और एक कॉल विकल्प, तो समय "टी" के बाद:

VUM = s × X × u = पिल्ला: VUM = एक अप मूव के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य {start {align} & \ text {VUM} = s \ गुना X \ गुना u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {जहाँ:} \\ & \ text {VUM} = \ text {एक अप मूव के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य} \\ \ end {संरेखित} VUM = s × X × u up पुप जहाँ: VUM = एक चाल के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य

VDM = s × X × d = पेडनडे: VDM = डाउन मूव \ _ {अलाइड} और \ टेक्स्ट {VDM} = s \ टाइम्स X \ d d - P_ \ text {डाउन} \\ के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य & \ textbf {जहाँ:} \\ & \ text {VDM} = \ text {एक डाउन मूव के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य} \\ \ end {संरेखित} VDM = s × X × d where लटकन जहाँ: VDM = डाउन मूव के मामले में पोर्टफोलियो का मूल्य

मूल्य चाल के मामले में समान मूल्यांकन के लिए:

s × X × u − पुप = ​​s × X × d \ पेंड्स \ टाइम्स X \ टाइम्स u - P_ \ text {अप} = s \ टाइम्स X \ टाइम्स d - P_ \ text {डाउन} s × X × u− पिल्ला = रों × एक्स × डी-Pdown

s = Pup down PdownX × (u = d) = के लिए खरीदने के लिए शेयरों की संख्या = एक जोखिम-मुक्त पोर्टफोलियो \ _ {गठबंधन} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {} के लिए खरीदने के लिए शेयरों की संख्या} \\ & \ phantom {=} \ text {एक जोखिम-मुक्त पोर्टफोलियो} \\ {अंत {गठबंधन} s = X × (u) d) Pup ThePdown = जोखिम मुक्त पोर्टफोलियो के लिए खरीदने के लिए शेयरों की संख्या

"टी" वर्ष के अंत में पोर्टफोलियो का भविष्य मूल्य होगा:

अप मूव के मामले में = s × X × u up Pup = Pup u Pdownu = d × u aligned Pup \ start {align} \ text {अप मूव के मामले में} और = s \ टाइम्स X \ टाइम्स u - P_ \ _ पाठ {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {नीचे}} {u - d} \ u u - P_ \ text {up} \\ \ end {गठबंधन} मामले में अप मूव = s × X × u − पुप = ​​u up dPup sPdown × u। पुप

डाउन मूव के मामले में = s × X × d P Pdown = Pup u Pdownu − d × d {Pdown \ start {align} \ text {डाउन मूव के मामले में} & = s \ टाइम्स X \ बार d - P_ \ _ पाठ {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {डाउन}} {u - d} \ टाइम्स d - P_ \ text {डाउन} \\ \ end {गठबंधन} मामले में डाउन मूव = s × X × d = पडाउन = u up dPup sPdown × d down पडाउन

वर्तमान समय के मूल्य को जोखिम-मुक्त दर के साथ छूट देकर प्राप्त किया जा सकता है:

PV = e ()rt) × [पुप − पड्डु × d × u − पुप] जहां: PV = वर्तमान-दिवस Valuer = वापसी का समय = समय, वर्षों में \ {{}} और \ पाठ {PV = = (-rt) \ टाइम्स \ बायाँ [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ u u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { जहाँ:} \\ & \ text {PV} = \ text {वर्तमान-दिवस मान} \\ & r = \ text {वापसी की दर} \\ & t = \ text {समय, वर्षों में} \\ \ end {संरेखित} PV = e ()rt) × [u up dPup uPdown × u] Pup] जहां: PV = वर्तमान-दिवस Valuer = वापसी की दर = समय, वर्षों में

यह एक्स मूल्य पर "एस" शेयरों के पोर्टफोलियो होल्डिंग से मेल खाना चाहिए, और शॉर्ट कॉल वैल्यू "सी" (वर्तमान में (एस * एक्स - सी) की होल्डिंग इस गणना के बराबर होनी चाहिए।) "सी" के लिए समाधान आखिरकार देता है। जैसा:

नोट: यदि कॉल प्रीमियम को छोटा किया जाता है, तो यह पोर्टफोलियो का जोड़ होना चाहिए, घटाव नहीं।

c = e ()rt) u e d × [(e (−rt) )d) × Pup + (u + e ()rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} [u - d} \ बार [(e -rt) - d) \ _ P_ \ text {ऊपर} + (u - e (-rt)) \ गुना P_ \ text {नीचे}] c = u − de (−rt) × [(ई (-rt) -d) × पिल्ला + (यू-ए (-rt)) × Pdown]

समीकरण को लिखने का एक और तरीका इसे पुनर्व्यवस्थित करना है:

"Q" को इस रूप में लेना:

q = e ()rt) −du q dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de ()rt) −d

तब समीकरण बन जाता है:

c = e ()rt) × (q × Pup + (1 × q) × pdown) c = e (-rt) \ गुना (q \ टाइम्स P_ \ text {up} + (1 - q) \ बार P_ \ टेक्स्ट {डाउन}) c = e (downrt) × (q × पप + (1) q) × पेंड)

"Q" के संदर्भ में समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हुए एक नया परिप्रेक्ष्य पेश किया है।

अब आप "q" की व्याख्या अंतर्निहित के ऊपर ले जाने की संभावना के रूप में कर सकते हैं (जैसा कि "q" P _अप से संबद्ध है और "1-q" P _dn से संबद्ध है)। कुल मिलाकर, समीकरण वर्तमान दिन विकल्प मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, समाप्ति पर इसके भुगतान का रियायती मूल्य।

यह "क्यू" अलग है

यह संभाव्यता "q" अप मूव की संभावना से अलग है या अंतर्निहित "> की डाउन चाल है

VSP = q × X × u + (1 × q) × X × dwhere: VSP = समय पर स्टॉक मूल्य का मूल्य t \ _ शुरू {गठबंधन} और \ पाठ {VSP} = q \ गुना X \ गुना u + (1) q) \ बार X \ टाइम्स d \\ & \ textbf {जहाँ:} \\ & \ text {VSP} = \ text {समय पर स्टॉक मूल्य का मूल्य} t \\ \ end {गठबंधन} VSP = q × X × u + (1) q) × X × dwhere: VSP = समय टी पर स्टॉक मूल्य का मूल्य

"क्ष" और पुनर्व्यवस्थित के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, "t" समय पर स्टॉक मूल्य आता है:

स्टॉक मूल्य = ई (आरटी) × ​​एक्स \ _ {संरेखित} और पाठ {स्टॉक मूल्य} = ई (आरटी) \ गुना एक्स \\ \ अंत {गठबंधन} स्टॉक मूल्य = ई (आरटी) × ​​एक्स

दो-राज्यों की इस अनुमानित दुनिया में, शेयर की कीमत केवल जोखिम-मुक्त दर के जोखिम से बढ़ती है, बिल्कुल जोखिम-मुक्त संपत्ति की तरह, और इसलिए यह किसी भी जोखिम से स्वतंत्र रहता है। निवेशक इस मॉडल के तहत जोखिम के प्रति उदासीन हैं, इसलिए यह जोखिम-तटस्थ मॉडल का गठन करता है।

संभाव्यता "q" और "(1-q)" को जोखिम-तटस्थ संभावनाओं के रूप में जाना जाता है और मूल्यांकन पद्धति को जोखिम-तटस्थ मूल्यांकन मॉडल के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण परिदृश्य की एक महत्वपूर्ण आवश्यकता है - सटीक (स्तर $ 110 और $ 90) के साथ भविष्य के भुगतान की संरचना की आवश्यकता है। वास्तविक जीवन में, कदम-आधारित मूल्य स्तरों के बारे में ऐसी स्पष्टता संभव नहीं है; बल्कि कीमत बेतरतीब ढंग से चलती है और कई स्तरों पर व्यवस्थित हो सकती है।

उदाहरण का और विस्तार करने के लिए, मान लें कि दो-चरण मूल्य स्तर संभव हैं। हम दूसरे चरण के अंतिम भुगतान को जानते हैं और हमें आज (प्रारंभिक चरण में) विकल्प को महत्व देने की आवश्यकता है:

पीछे की ओर काम करते हुए, मध्यवर्ती पहला चरण मूल्यांकन (टी = 1 पर) चरण दो (टी = 2) पर अंतिम भुगतान का उपयोग करके बनाया जा सकता है, फिर इन गणना किए गए पहले चरण मूल्यांकन (टी = १) का उपयोग करके, वर्तमान में मूल्यांकन (टी =) 0) इन गणनाओं के साथ पहुंचा जा सकता है।

नंबर दो पर विकल्प मूल्य निर्धारण प्राप्त करने के लिए, चार और पांच पर भुगतान का उपयोग किया जाता है। नंबर तीन के लिए मूल्य निर्धारण प्राप्त करने के लिए, पांच और छह पर भुगतान का उपयोग किया जाता है। अंत में, दो और तीन पर परिकलित भुगतानों का उपयोग नंबर एक पर मूल्य निर्धारण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि यह उदाहरण दोनों चरणों में ऊपर (और नीचे) के लिए एक ही कारक मानता है - यू और डी एक मिश्रित फैशन में लागू होते हैं।

एक कार्य उदाहरण

$ 110 की स्ट्राइक प्राइस के साथ पुट ऑप्शन मानें वर्तमान में $ 100 पर कारोबार कर रहा है और एक वर्ष में समाप्त हो रहा है। वार्षिक जोखिम मुक्त दर 5% है। कीमत में 20% की वृद्धि और हर छह महीने में 15% की कमी की उम्मीद है।

यहां, u = 1.2 और d = 0.85, x = 100, t = 0.5

उपरोक्त व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना

q = e ()rt) −du q dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de ()rt) −d

हमें q = 0.35802832 मिलता है

बिंदु 2 पर पुट ऑप्शन का मूल्य,

P2 = e ()rt) × (p × Pupup + (1 P q) Pupdn) जहाँ: p = पुट ऑप्शन की कीमत \ _ {align} & p_2 = e (-rt) \ गुना (p \ गुना___ पाठ) {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {जहां:} \\ & p = \ text {पुट ऑप्शन की कीमत} \\ \ end {align} P2 = e (+rt) × (p × Pupup + (1 P q) Pupdn) जहाँ: p = पुट ऑप्शन का मूल्य

P _upup स्थिति में, अंतर्निहित = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 होगा, जो P _upup = शून्य के लिए अग्रणी होगा

पी _{updn की} स्थिति में, अंतर्निहित = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 पी _{पीपीएन} = 8 डॉलर के लिए अग्रणी होगा

P _dndn कंडीशन में, अंतर्निहित = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 होगा, जो P _dndn = $ 37.75 की ओर ले जाएगा।

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

इसी तरह, पी ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e ()rt) × (q × P2 + (1 p q) p3) p_1 = e (-rt) \ गुना (q \ टाइम्स p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (rt) × (× p2 + (1-क्यू) p3 क्यू)

और इसलिए पुट ऑप्शन का मान, पी ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29।

इसी तरह, द्विपद मॉडल आपको कई विकल्प और स्तरों को परिष्कृत करने के लिए संपूर्ण विकल्प की अवधि को तोड़ने की अनुमति देते हैं। कंप्यूटर प्रोग्राम या स्प्रेडशीट का उपयोग करके, आप वांछित विकल्प के वर्तमान मूल्य को प्राप्त करने के लिए एक समय में एक कदम पीछे कर सकते हैं।

एक और उदाहरण

एक्सपायरी करने के लिए नौ महीने के साथ एक यूरोपीय प्रकार का पुट विकल्प चुनें, $ 12 की स्ट्राइक कीमत और $ 10 पर एक मौजूदा अंतर्निहित कीमत। सभी अवधियों के लिए 5% की जोखिम-मुक्त दर मान लें। हर तीन महीने में मान लें, अंतर्निहित कीमत 20% ऊपर या नीचे जा सकती है, जिससे हमें यू = 1.2, डी = 0.8, टी = 0.25 और एक तीन-कदम द्विपद वृक्ष मिलता है।

लाल अंतर्निहित कीमतों को इंगित करता है, जबकि नीला पुट विकल्पों के भुगतान को इंगित करता है।

जोखिम-तटस्थ संभावना "क्ष" 0.531446 की गणना करता है।

"क्ष" और अदायगी मूल्यों के टी = नौ महीने के उपरोक्त मूल्य का उपयोग करते हुए, टी = छह महीने पर संबंधित मूल्य इस प्रकार हैं:

इसके अलावा, t = 6 पर इन संगणित मूल्यों का उपयोग करते हुए, t = 3 पर मान t = 0 पर हैं:

$ 2.18 के रूप में एक पुट ऑप्शन का वर्तमान मूल्य देता है, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल ($ 2.30) का उपयोग करके आप गणनाएं जो कर रहे हैं, उसके बहुत करीब हैं।

तल - रेखा

यद्यपि कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना इन गहन गणनाओं को आसान बना सकता है, भविष्य की कीमतों की भविष्यवाणी विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए द्विपद मॉडल की एक प्रमुख सीमा बनी हुई है। समय अंतराल जितना अधिक होता है, उतनी ही उच्च स्तर की सटीकता के साथ प्रत्येक अवधि के अंत में भुगतान की भविष्यवाणी करना मुश्किल होता है।

हालांकि, विभिन्न अवधियों में अपेक्षित परिवर्तनों को शामिल करने का लचीलापन एक प्लस है, जो शुरुआती अभ्यास मूल्यांकन सहित अमेरिकी विकल्पों के मूल्य निर्धारण के लिए उपयुक्त बनाता है।

द्विपद मॉडल का उपयोग करके गणना किए गए मान ब्लैक-स्कोल्स जैसे अन्य आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मॉडल से गणना करते हैं, जो विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए द्विपद मॉडल की उपयोगिता और सटीकता को इंगित करता है। द्विपद मूल्य निर्धारण मॉडल को एक व्यापारी की वरीयताओं के अनुसार विकसित किया जा सकता है और ब्लैक-स्कोल्स के विकल्प के रूप में काम कर सकता है।