एक्सप्लेंशियलली वेटेड मूविंग एवरेज की खोज

अस्थिरता जोखिम का सबसे आम उपाय है, लेकिन यह कई स्वादों में आता है। पिछले लेख में, हमने दिखाया कि सरल ऐतिहासिक अस्थिरता की गणना कैसे करें। इस लेख में, हम सरल अस्थिरता पर सुधार करेंगे और घातीय रूप से भारित चलती औसत (EWMA) पर चर्चा करेंगे।

ऐतिहासिक बनाम निहित अस्थिरता

पहले, आइए इस मीट्रिक को थोड़ा परिप्रेक्ष्य में रखें। दो व्यापक दृष्टिकोण हैं: ऐतिहासिक और निहित (या निहित) अस्थिरता। ऐतिहासिक दृष्टिकोण मानता है कि अतीत का प्रस्तावना है; हम इस उम्मीद में इतिहास को मापते हैं कि यह भविष्य कहनेवाला है। दूसरी ओर निहित अस्थिरता, इतिहास की उपेक्षा करती है; यह बाजार की कीमतों में निहित अस्थिरता के लिए हल करता है। यह आशा करता है कि बाजार सबसे अच्छा जानता है और बाजार मूल्य में निहित है, भले ही स्पष्ट रूप से, अस्थिरता का एक आम सहमति का अनुमान है।

यदि हम केवल तीन ऐतिहासिक दृष्टिकोणों (ऊपर बाईं ओर) पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो उनके दो चरण आम हैं:

1. आवधिक रिटर्न की श्रृंखला की गणना करें
2. वेटिंग स्कीम लागू करें

सबसे पहले, हम आवधिक रिटर्न की गणना करते हैं। यह आम तौर पर दैनिक रिटर्न की एक श्रृंखला होती है, जहां प्रत्येक रिटर्न लगातार जटिल शब्दों में व्यक्त किया जाता है। प्रत्येक दिन के लिए, हम स्टॉक की कीमतों के अनुपात का प्राकृतिक लॉग लेते हैं (यानी, कीमत आज कल कीमत से विभाजित है, और इसी तरह)।

ui = lnsisi: 1 जगह: ui = दिन isi = स्टॉक मूल्य पर दिन isi on 1 = स्टॉक मूल्य दिन से पहले दिन I \ start {align} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {जहां:} \\ & u_i = \ text {दिन पर लौटें} मैं \\ & s_i = \ पाठ {स्टॉक मूल्य दिन पर} मैं \\ & s_ {i - 1} = \ पाठ / स्टॉक मूल्य दिन दिन से पहले = i \\ \ end {संरेखित करें ui = lnsi: 1 सी जहां: ui = दिन isi = वापसी दिन isi day पर स्टॉक मूल्य = 1 दिन पहले दिन स्टॉक मूल्य

यह दैनिक रिटर्न की एक श्रृंखला का उत्पादन करता है, जो कि हम कितने दिनों (एम = दिन) के आधार पर यू- _{आई से} लेकर यू _इम तक मापते हैं।

यह हमें दूसरे चरण में ले जाता है: यह वह जगह है जहाँ तीन दृष्टिकोण अलग होते हैं। पिछले लेख में, हमने दिखाया कि स्वीकार्य सरलीकरणों के एक जोड़े के तहत, साधारण विचरण स्क्वॉड रिटर्न का औसत है:

variance = iancen2 = 1mΣi = 1mun m 12 जगह: m = दिनों की संख्या नापी गई = दिन के हिसाब से = रिटर्न का अंतर औसत रिटर्न \ _ {संरेखित करें} & पाठ {विचरण} = \ sigig ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ सिग्मा ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {जहाँ:} \\ & m = \ text {दिनों की संख्या को मापा गया} \\ & n = \ text {दिन} i \\ & u = \ text {औसत रिटर्न से वापसी का अंतर} \\ \ end {संरेखित} विचरण = 1n2 = m1 =i = 1m un where 12 जहां: m = दिनों की संख्या मापा = dayiu / अंतर औसत रिटर्न से वापसी

ध्यान दें कि यह प्रत्येक आवधिक रिटर्न देता है, फिर उस कुल को दिनों या टिप्पणियों (एम) की संख्या से विभाजित करता है। इसलिए, यह वास्तव में स्क्वॉयरेड आवधिक रिटर्न का औसत है। एक और तरीका रखो, प्रत्येक चुकता वापसी को एक समान वजन दिया जाता है। इसलिए यदि अल्फा (ए) एक भार कारक है (विशेष रूप से, = 1 / मी), तो एक साधारण विचरण कुछ इस तरह दिखता है:

ईडब्ल्यूएमए सिंपल वेरिएंस में सुधार करता है
इस दृष्टिकोण की कमजोरी यह है कि सभी रिटर्न एक ही वजन कमाते हैं। पिछले महीने की वापसी की तुलना में कल (बहुत हालिया) रिटर्न का विचरण पर अधिक प्रभाव नहीं है। यह समस्या तेजी से भारित चलती औसत (EWMA) का उपयोग करके तय की जाती है, जिसमें अधिक हाल के रिटर्न में विचरण पर अधिक भार होता है।

घातीय रूप से भारित चलती औसत (EWMA) लैम्बडा का परिचय देती है, जिसे स्मूथिंग पैरामीटर कहा जाता है। लैम्ब्डा एक से कम होना चाहिए। इस स्थिति के तहत, समान भार के बजाय, प्रत्येक चुकता रिटर्न एक गुणक द्वारा निम्नानुसार भारित होता है:

उदाहरण के लिए, एक वित्तीय जोखिम प्रबंधन कंपनी, रिस्कमेट्रिक्स ^टीएम 0.94 या 94% के लंबोदा का उपयोग करता है। इस मामले में, पहला (सबसे हालिया) चुकता आवधिक रिटर्न (1-0.94) (? 94) ⁰ = 6% है। अगले चुकता वापसी बस पूर्व वजन का एक लंबो-मल्टीपल है; इस मामले में 6% 94% = 5.64% से गुणा किया जाता है। और तीसरे पूर्व दिन का वजन (1-0.94) (0.94) ² = 5.30% है।

EWMA में "घातीय" का अर्थ है: प्रत्येक वजन एक स्थिर गुणक है (यानी लैंबडा, जो पूर्व दिन के वजन से कम होना चाहिए)। यह एक वैरिएशन सुनिश्चित करता है जो अधिक हाल के डेटा की ओर भारित या पक्षपाती है। Google के लिए बस अस्थिरता और EWMA के बीच का अंतर नीचे दिखाया गया है।

साधारण अस्थिरता प्रभावी रूप से प्रत्येक और हर आवधिक रिटर्न का वजन 0.196% है जैसा कि कॉलम ओ में दिखाया गया है (हमारे पास दैनिक स्टॉक मूल्य डेटा के दो वर्ष थे। यह दैनिक रिटर्न 509 है और 1/509 = 0.196% है)। लेकिन ध्यान दें कि Column P 6%, फिर 5.64%, फिर 5.3% और इतने पर वजन प्रदान करता है। केवल साधारण विचरण और EWMA के बीच अंतर है।

याद रखें: हम पूरी श्रृंखला (कॉलम क्यू में) के बाद हमारे पास विचरण है, जो मानक विचलन का वर्ग है। यदि हम अस्थिरता चाहते हैं, तो हमें उस विचरण का वर्गमूल लेने के लिए याद रखना चाहिए।

Google के मामले में संस्करण और EWMA के बीच दैनिक अस्थिरता में क्या अंतर है ">

आज का वैरिएंस, पूर्व दिवस की विचरण का एक कार्य है

आप देखेंगे कि हमें तेजी से घटते वजन की एक लंबी श्रृंखला की गणना करने की आवश्यकता है। हम यहां गणित नहीं करेंगे, लेकिन EWMA की सबसे अच्छी विशेषताओं में से एक यह है कि पूरी श्रृंखला आसानी से एक पुनरावर्ती सूत्र में बदल जाती है:

wn2 (ewma) = λ2n2 + (1) λ) संयुक्त राष्ट्र में = 12 कहीं: λ = समय की मात्रा घटने की डिग्री = 2 = समय अवधि nu2 का मान = समय पर EWMA का मान \ _ शुरू {गठबंधन} & \ _ सिग्मा ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {जहाँ:} \\ & \ lambda = \ text {भार घटाने की डिग्री} \ _ \ & \ सिग्मा ^ 2 = \ पाठ {समय अवधि पर मूल्य} n \\ & u ^ 2 = \ पाठ {समय अवधि पर EWMA का मूल्य} n \\ \ end {संरेखित करें σn2 (ewma) = λnn2 ​​+ (1 1 λ) संयुक्त राष्ट्र where 12 जहां: λ = समय के हिसाब से घटाव की डिग्री =2 = मान समय nu2 = समय अवधि में EWMA का मूल्य n

पुनरावर्ती का अर्थ है कि आज का विचरण संदर्भ (अर्थात पूर्व दिवस के विचरण का एक कार्य है)। आप इस सूत्र को स्प्रेडशीट में भी पा सकते हैं, और यह सटीक परिणाम ला सकता है जैसे कि लॉन्गहैंड गणना! यह कहता है: आज का विचरण (EWMA के तहत) कल के विचरण (लैम्ब्डा द्वारा भारित) के बराबर होता है, साथ ही कल का स्क्वार्ड रिटर्न (एक माइनस लैम्बडा द्वारा तौला गया)। ध्यान दें कि हम केवल दो शब्दों को एक साथ कैसे जोड़ रहे हैं: कल का वेटेड संस्करण और कल का वेटेड, चुकता रिटर्न।

फिर भी, लैम्ब्डा हमारा स्मूथिंग पैरामीटर है। एक उच्च लैम्ब्डा (उदाहरण के लिए, रिस्कमेट्रिक 94% की तरह) श्रृंखला में धीमी क्षय को इंगित करता है - रिश्तेदार शब्दों में, हम श्रृंखला में अधिक डेटा बिंदुओं पर जा रहे हैं और वे अधिक धीरे-धीरे "गिर" जा रहे हैं। दूसरी ओर, यदि हम लैम्ब्डा को कम करते हैं, तो हम उच्च क्षय का संकेत देते हैं: वज़न अधिक तेज़ी से गिरता है और, तेजी से क्षय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, कम डेटा बिंदुओं का उपयोग किया जाता है। (स्प्रेडशीट में, लैम्ब्डा एक इनपुट है, इसलिए आप इसकी संवेदनशीलता के साथ प्रयोग कर सकते हैं)।

सारांश
अस्थिरता एक स्टॉक का तात्कालिक मानक विचलन और सबसे आम जोखिम मीट्रिक है। यह विचरण का वर्गमूल भी है। हम विचरण को ऐतिहासिक या अव्यवस्थित (निहित अस्थिरता) माप सकते हैं। ऐतिहासिक रूप से मापने पर, सबसे आसान विधि सरल विचरण है। लेकिन सरल विचरण के साथ कमजोरी सभी रिटर्न एक ही वजन प्राप्त करते हैं। इसलिए हम एक क्लासिक ट्रेड-ऑफ का सामना करते हैं: हम हमेशा अधिक डेटा चाहते हैं, लेकिन जितना अधिक डेटा हमारी गणना है, वह दूर (कम प्रासंगिक) डेटा द्वारा पतला है। समय-समय पर रिटर्न को भार प्रदान करके सरल विचरण पर औसत भारित चलती औसत (EWMA) में सुधार होता है। ऐसा करने से, हम दोनों एक बड़े नमूना आकार का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन अधिक हाल के रिटर्न के लिए अधिक वजन भी दे सकते हैं।